我的数学笔记本
Myzhang1029's middle school math notebook

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第十八章 平行四边形

18.1 平行四边形

一、四边形的组成元素

边、角、对角线 你说错了

二、命名规则

1.按顺时针或逆时针描述，记作四边形$ABCD$
A quadrilateral 边：$AB,BC,CD,DA$
角：$\angle A,\angle B,\angle C,\angle D$
对角线：$AC,BD$

三、四边形的分类

你的世界被你缩小了 A trapezium $$ 四边形(平行)\begin{cases} \unicode{x2460}&没有平行的对边的四边形\\ \unicode{x2461}&只有一组对边平行且这组对边\\ &不相等的四边形是梯形\\ \unicode{x2462}&两组对边分别平行的四边形\\ &是平行四边形，记作\paral ABCD \end{cases} $$

四、平行四边形的定义

①（判定） $$ \because AB//CD,AD//BC\\ \therefore 四边形ABCD是平行四边形 $$ ②（性质） $$ \because 四边形ABCD是平行四边形\\ \therefore AB//CD,AD//BC $$

五、平行四边形的性质

①边：平行四边形的两组对边分别平行 $$ \because 四边形ABCD是平行四边形\\ \therefore AB//CD, AD//BC. $$ ②边：平行四边形的两组对边分别相等 $$ \because 四边形ABCD是平行四边形\\ \therefore AB=CD, AD=BC. $$ ③角：平行四边形的对角相等，邻角互补 A parallelogram $$ \because 四边形ABCD是平行四边形\\ \therefore \angle A=\angle C,\angle B=\angle D,\angle A+\angle B=180^\circ,\angle B+\angle C=180^\circ $$ ④对角线：平行四边形的对角线互相平分 A parallelogram with two diagonals $$ \because 四边形ABCD是平行四边形\\ \therefore OA=OC=\frac{1}{2}AC(OB=OD=\frac{1}{2}BD) $$

六、易错

A parallelogram ①“上、下”是$AD$和$BC$
$\angle3$和$\angle4$
②“左、右”是$AB$和$DC$
$\angle1$和$\angle2$

七、距离（最短路程）

①两点间的距离是线段长. Comparing curved line and straight line

清楚和模糊，决定你以后人生是好运还是稀里糊涂 好人占一半，坏人占一半。我们平时当好人，考试的时候当坏人

②点在直线外，点到直线的距离. Comparing the length of the perpendicular line and not perpendicular ones ③两条线的距离.两条平行线间的距离处处相等. Showing the distance between two parallel lines stays the same

18.1.2 平行四边形的判定

所以你的分数就缩水了 你要想想，上个学期大家查你的《周周清》都查得很吃力啊 你假期去打记号去了？ 6怎么变3了呢？ 你这个假期是不是没说话？ 很好，终于电流大一点了，声音也大一点了。你看，越练越好。再接再厉！ --我们都写完了，你还一个字没写。
--先听再写。
--所以你先听三年，再写三年。

一、平行四边形的判定

A parallelogram 边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 $$ \because AB//CD, AD//BC\\ \therefore 四边形ABCD是平行四边形 $$ ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 $$ \because AB=CD, AD=BC\\ \therefore 四边形ABCD是平行四边形 $$ ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 $$ \because AD//BC, AD=BC\\ \therefore 四边形ABCD是平行四边形 $$ 角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 $$ \because \angle A=\angle C,\angle B=\angle D\\ \therefore 四边形ABCD是平行四边形 $$ 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形 $$ \because OA=OC,OB=OD\\ \therefore 四边形ABCD是平行四边形 $$
说得没自信了？ 你自个儿 例1:已知$\paral ABCD,AE=CF$
求证：(1).四边形$AFCE$是平行四边形
(2).$\triangle\cong\triangle.$ 四边形ABCDEFGH——MN 上一句：那些在讲同理可得的人……（方言）
下一句：同理可得—— 你说上联我说下联改？ 帮我看的，我看不清楚了 A parallelogram with four angle bisectors 例2.已知在$\paral ABCD$中，$AE$平分$\angle DAB$，$CF$平分$\angle DCB$
求证：(1).四边形$AFCE$是平行四边形
(2).若$DH$平分$\angle ADB$，$BG$平分$\angle ABC$，求证四边形$MHNG$是平行四边形 $$ 证明：(1)\\ \because 四边形ABCD是平行四边形\\ \therefore DC//AB,\angle DAB=\angle DCB\\ \because AE平分\angle DAB\\ \therefore \angle1=\frac{1}{2}\angle DAB\\ \because CF平分\angle DCB\\ \therefore \angle3=\frac{1}{2}\angle DCB\\ \because \angle DAB=\angle DCB\\ \therefore \angle1=\angle3\\ \because DC//AB\\ \therefore \angle2=\angle3\\ \therefore \angle1=\angle2\\ \therefore AE//FC\\ \because EC//AF, AE//FC\\ \therefore 四边形AFCE是平行四边形\\ (2) $$
十四行字
$$ \because 四边形AFCE是平行四边形\\ \therefore AE//FC\\ \because 四边形ABCD是平行四边形\\ \therefore AD//BC $$ $$ \because AB//CD $$ $$ \therefore \angle DAB+\angle ADC=180^\circ\\ \therefore \frac{1}{2}\angle DAB+\frac{1}{2}\angle ADC=90^\circ\\ 即：\angle4+\angle5=90^\circ\\ \because 在\triangle AMD中\\ \therefore \angle4+\angle5+\angle6=180^\circ\\ \therefore \angle6=90^\circ\\ 同理可得：\angle8=90^\circ\\ \because \angle7=\angle6\\ \therefore \angle7=90^\circ\\ \begin{aligned} \because&\angle7+\angle8\\ =&90^\circ+90^\circ\\ =&180^\circ \end{aligned}\\ \therefore DH//BG\\ \because MH//NG, MG//HN\\ \therefore 四边形GMHN是平行四边形 $$ 全等疯子（此句古已有之） 你怎么变成他们的回音了？

18.1.3 三角形的中位线

一、定义

连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线. A triangle with a median $$ \because 点D是AB中点，点E是AC中点\\ \therefore DE是\triangle ABC的中位线 $$ 手机一开始天线在外面A phone with an antenna，但是后来发现不方便装，所以现在天线就在里面了。这就需要新的知识。

二、性质

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. $$ \because DE是\triangle ABC的中位线\\ \therefore DE//BC,DE=\frac{1}{2}BC $$

三、例1.已知，点$D$是$AB$中点，点$E$是$AC$中点，$BC=6$，求$DE$的长.

 例1.已知，点$D$是$AB$中点，点$E$是$AC$中点，$BC=6$，求$DE$的长. $$ 解： \because 点D是AB中点,点E是AC中点\\ \therefore DE是\triangle ABC的中位线\\ \begin{aligned} \therefore DE&=\frac{1}{2}BC\\ &=\frac{1}{2} \times 6\\ &=3 \end{aligned} $$ 例2.如图，点$E$是$AB$中点，点$F$是$AC$中点，点$G$是$DB$中点，点$H$是$DC$中点.
求证：四边形$EGHF$是平行四边形. Two triangles with a common side, two medians $$ 证明： \because 点E是AB中点,点F是AC中点\\ \therefore EF是\triangle ABC的中位线\\ \therefore EF//BC,EF=\frac{1}{2}BC\\ \because 点G是DB中点,点H是DC中点\\ \therefore GH//BC,GH=\frac{1}{2}BC\\ \because EF//BC,GH//BC\\ \therefore EF//GH\\ \because EF=\frac{1}{2}BC,GH=\frac{1}{2}BC\\ \therefore EF=GH\\ \because EF//GH,EF=GH\\ \therefore 四边形EGHF是平行四边形 $$ 例3.如图，已知点$E,F,G,H$分别是边$AB,BC,CD,DA$的中点，试判定四边形 $EFGH$的形状，并说明理由. A quadrilateral with four midpoints connected $$ 解：判断：四边形EFGH是平行四边形.\\ 理由如下：\\ 连接AC\\ \because 点H是DA中点,点G是CD中点\\ \therefore GH是\triangle ACD的中位线\\ \therefore GH//AC,GH=\frac{1}{2}AC\\ \because 点E是AB中点,点F是BC中点\\ \therefore EF是\triangle ABC的中位线\\ \therefore EF//AC,EF=\frac{1}{2}AC\\ \because GH//AC,EF//AC\\ \therefore EF//GH\\ \because GH=\frac{1}{2}AC,EF=\frac{1}{2}AC\\ \therefore EF=GH\\ \because EF//GH,EF=GH\\ \therefore 四边形EFGH是平行四边形 $$ 跑得了和尚跑不了鸡

18.2.1 矩形

18.2.1.1 矩形的性质

一、矩形的定义

有一个角是$90^\circ$的平行四边形是矩形.

二、矩形的性质

‘矩形的形式’——别写错别字！ 王俊文！ 1.边：矩形的两组对边分别平行 A rectangle $$ \because 四边形ABCD是矩形\\ \therefore AB//DC,AD//BC $$ 2.边：矩形的两组对边分别相等 $$ \because 四边形ABCD是矩形\\ \therefore AB=DC,AD=BC $$ 3.角：矩形的四个角都是$90^\circ$ $$ \because 四边形ABCD是矩形\\ \therefore \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ $$ 4.对角线：矩形的对角线互相平分，且相等 A rectangle with two digonals $$ \because 四边形ABCD是矩形\\ \therefore OA=OC=\frac{1}{2}AC,OB=OD=\frac{1}{2}BD,AC=BD\\ \therefore OA=OB=OC=OD $$

三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

A right triangle with the midline on the hypotenuse $$ \because 在Rt\triangle 中,\angle ABC=90^\circ,点O是AC中点\\ \therefore OB=OA=OC=\frac{1}{2}AC $$ 讲小话，我控制不住 -同理可得
-不要听教你懒惰的人
——老尹教了我们同理可得和易证 例1.已知：$BC \perp CA,BD \perp DA$，点$O$是$AB$中点. 求证：$OC=OD$ Two right triangles with a common hypotenuse $$ 证明：\because BC \perp CA\\ \therefore \angle ACB=90^\circ\\ \because 在Rt\triangle 中,\angle ACB=90^\circ,点O是AB中点\\ \therefore OC=\frac{1}{2}AB\\ \because BD \perp DA\\ \therefore \angle ADB=90^\circ\\ \because 在Rt\triangle 中,\angle ADB=90^\circ,点O是AB中点\\ \therefore OD=\frac{1}{2}AB\\ \therefore OC=OD $$

18.2.218.2.1.2 矩形的判定

一、判定

1.一个角是$90^\circ$的平行四边形是矩形 A rectangle $$ \because 四边形ABCD是平行四边形\\ 又 \because \angle A=90^\circ\\ \therefore \paral ABCD是矩形 $$ 2.对角线相等的平行四边形是矩形 A rectangle with two digonals $$ \because 四边形ABCD是平行四边形\\ 又 \because AC=BD\\ \therefore \paral ABCD是矩形 $$ 3.三个角都是$90^\circ$的四边形是矩形 $$ \because \angle A=\angle B=\angle C=90^\circ\\ \therefore 四边形ABCD是矩形 $$ 所有四边形都在操场上，如果要上到二楼，它就要吃一块面包。 像这样写：‘四边形$ABCD$是矩形’，就是吃错面包了。 你看它先吃了一块面包，上到一楼，然后又掉到操场上了，然后又飞到二楼了。 所以’又’字是上楼，图形进化 面包就是门票 它在操场上乱跑，要想上一楼，就要介绍判定。知识就是这样朴朴实实，要有好处，才能上楼 每栋楼都有电梯 例1. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB//DC,AB=DC,\angle B=90^\circ$
求证：四边形$ABCD$是矩形 A rectangle $$ 证明：\\ \because AB//DC,AB=DC\\ \therefore 四边形ABCD是平行四边形\\ 又 \because \angle B=90^\circ\\ \therefore \paral ABCD是矩形 $$ 有些人，比如说，有好吃的东西，就说，我先嚼嚼再给你吃 现在是球花子，以后是叫花子 唉上战场了，我的武器埋在哪里不知道，就把别人的武器借来，就把别人的命也借走了。，让我刮目相看。你看，这个武器是别人的，要先学怎么用 你是哪国人？ 怪不得你长这么圆，上下证完还证左右，肉就长在左右上了 例2. 如图，$OA=OC,OB=OD,AC=BD$
求证：四边形$ABCD$是矩形 A rectangle with two digonals $$ 证明：\\ \because OA=OC,OB=OD\\ \therefore 四边形ABCD是平行四边形\\ 又 \because AC=BD\\ \therefore \paral ABCD是矩形 $$

18.2.2 菱形

18.2.2.1 菱形的性质

一、菱形的定义

一组邻边相等的平行四边形是菱形.

二、菱形的性质

1.边：两组对边分别平行 A rhombus $$ \because 四边形ABCD是菱形\\ \therefore AB//DC,AD//BC $$ 2.边：菱形的四条边相等 $$ \because 四边形ABCD是菱形\\ \therefore AB=BC=DC=DA $$ 3.对角线：菱形的对角线互相垂直平分 $$ \because 四边形ABCD是菱形\\ \therefore AC \perp BD,OA=OC,OB=OD $$ $AC$长垂直$BD$长 4.对角线：菱形的对角线平分一组对角 $$ \because 四边形ABCD是菱形\\ \therefore BD平分\angle ABC, BD平分\angle ADC $$ 5.面积： $$ \begin{aligned} ①\Huge{S}_{\small{菱形ABCD}}&=底 \times 高\\ &=4 \times S_{小直角三角形}\\ &=4 \times \frac{1}{2}(OA\times OD)\\ &=\frac{1}{2} (2OA \times 2OD)\\ ②S_{菱形ABCD}&=\frac{1}{2}AC \cdot BD \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} ①\Huge{S}_{\small{菱形ABCD}}&=底 \times 高\\ ②S_{菱形ABCD}&=\frac{1}{2}AC \cdot BD \end{aligned} $$ 顺时针生活在同一个世界当中，逆时针生活在另一个世界上。不在一个世界上，就不全等 像搭了一个桥一样 你的声音被他的声音挡住了

18.2.2.2 菱形的判定

一、判定

1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形. $$ \because 四边形ABCD是平行四边形\\ 又 \because AD=AB\\ \therefore \paral ABCD是菱形 $$ 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. $$ \because 四边形ABCD是平行四边形\\ 又 \because AC \perp BD\\ \therefore \paral ABCD是菱形 $$ 3.四边相等的四边形是菱形. $$ \because AB=BC=CD=DA\\ \therefore 四边形ABCD是菱形 $$ 动物可以演化，知识也可以演化 操场上符合条件的站在一楼，初一站在左边，初二站在右边 唐氏百度复读机，唐氏百度翻译机 只要你有笔，有本子，任何人都阻止不了你改错的力量 你这个大脑中的过去未来完全是乱的 这个A怎么是畸形的啊？脚这么短，我看是三角形 你这个叫字改？这个是笔画 这是什么？大耳朵改？ 角2是你家养的鸭子嘛，怎么鸭子都养不像？ 你怕是忘了你的数学是尹老师教的！ $AEx,EOx,OFx,FCx,OBx,ODx$ 世界上有那么多多好吃的，你说没吃过，就不吃了。你把它转化成吃过的嘛！

18.2.3 正方形的性质及判定

一、定义

1.一组邻边相等的矩形是正方形. 2.一个角是$90^\circ$的菱形是正方形.

二、性质

1.边：正方形的四条边相等. A square $$ \because 四边形ABCD是正方形 $$ $$ \therefore AB=BC=CD=AD. $$ $$ \therefore AB=BC=CD=DA. $$ 2.角：正方形的四个角都是$90^\circ$ $$ \because 四边形ABCD是正方形\\ \therefore \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ $$ 3.对角线：正方形的对角线互相平分且相等 A square with two diagonals $$ \because 四边形ABCD是正方形\\ \therefore AC \perp BD,OA=OC=\frac{1}{2}AC,OB=OD=\frac{1}{2}BD,AC=BD\\ \therefore OA=OB=OC=OD $$ 4.对角线：正方形的每条对角线平分一组对角 $$ \because 四边形ABCD是正方形\\ \therefore AC平分\angle BAD,\\ \begin{aligned} \therefore \angle1&=\frac{1}{2}\angle BAD\\ &=\frac{1}{2}\times 90^\circ\\ &=45^\circ \end{aligned} $$ 例1.在正方形$ABCD$中，$CE=CF$
(1).求证：$\triangle DCE\cong\triangle DCF$
(2).若$\angle2=60^\circ$，求$\angle DFC$及$\angle1$的度数
Graph for example 4 (1)证明：(1) $$ \because 四边形ABCD是正方形\\ \therefore CB=CD,\angle3=90^\circ $$ $$ \because \angle3=90^\circ $$ $$ \therefore BC \perp DC\\ \therefore DC \perp BF\\ \therefore \angle4=90^\circ\\ \because 在\triangle BCE和\triangle DCF中\\ \begin{cases} CB&=CD\\ \angle3&=\angle4\\ CE&=CF \end{cases}\\ \therefore\triangle BCE\cong\triangle DCF(SAS) $$ (2)解： $$ \because \triangle BCE\cong\triangle DCF\\ \therefore \angle2=\angle DFC\\ \therefore \angle DFC=60^\circ\\ \because CE=CF\\ \therefore \angle6=\angle5\\ \because 在Rt\triangle CEF中,\angle4=90^\circ\\ \therefore \angle5+\angle6=90^\circ\\ \therefore 2\angle6=90^\circ\\ \therefore \angle6=45^\circ\\ \because \angle1=\angle DFC-\angle6\\ \begin{aligned} \therefore \angle1&=60^\circ-45^\circ\\ &=15^\circ \end{aligned} $$

三、判定

1.从矩形出发

(1).一组邻边相等的矩形是正方形 $$ \because 四边形ABCD是矩形\\ 又\because AB=AD\\ \therefore 矩形ABCD是正方形 $$ (2).对角线互相垂直的矩形是正方形 $$ \because 四边形ABCD是矩形\\ 又\because AC \perp BD\\ \therefore 矩形ABCD是正方形 $$

2.从菱形出发

(1).一个角是$90^\circ$的菱形是正方形 $$ \because 四边形ABCD是菱形\\ 又\because \angle BAD=90^\circ\\ \therefore 菱形ABCD是正方形 $$ (2).对角线相等的菱形是正方形 $$ \because 四边形ABCD是菱形\\ 又\because AC=BD\\ \therefore 菱形ABCD是正方形 $$ 例2.在四边形$ABCD$中，$\angle A=\angle B=\angle C=90^\circ ,AB=AD$，求证：四边形$ABCD$是正方形
A square $$ 证明：\\ \because \angle A=\angle B=\angle C=90^\circ\\ \therefore 四边形ABCD是矩形\\ 又\because AB=AD\\ \therefore 矩形ABCD是正方形 $$ 例3.在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$AD$平分$\angle CAB$，$BD$平分 $\angle ABC,DE \perp BC,DF \perp AC,$
求证：四边形$CEDF$是正方形. Graph for example 3 $$ 证明：\\ \because DE \perp BC,DF \perp AC\\ \therefore \angle1=\angle2=90^\circ $$ $$ \because \angle1=\angle2=\angle C=90^\circ $$ $$ \because \angle1=\angle2=\angle C $$ $$ \therefore 四边形CEDF是矩形\\ 过D作DG \perp AB于G\\ \because AD平分\angle CAB,DF \perp AC,DG \perp AB\\ \therefore DF=DG\\ 同理可得：DE=DG\\ \therefore DF=DE\\ \because 四边形CEDF是矩形\\ 又\because DF=DE\\ \therefore 矩形CEDF是正方形 $$ 例4.在菱形$ABCD$中，$\angle4=\angle2+\angle3$
求证：四边形$ABCD$是正方形. Graph for example 4 $$ 证明：\\ \because 在\triangle ADE中,\angle1是外角\\ \therefore \angle1=\angle2+\angle3\\ \because \angle4=\angle2+\angle3\\ \therefore \angle1=\angle4\\ \therefore OA=OD\\ \because 四边形ABCD是菱形\\ \therefore OA=\frac{1}{2}AC,OD=\frac{1}{2}BD\\ \because OA=OD\\ \therefore \frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD $$ $$ 即：AC=BD $$ $$ \therefore AC=BD $$ $$ \because 四边形ABCD是菱形\\ 又\because AC=BD\\ \therefore 菱形ABCD是正方形 $$ 今天上课，一个人有一个业余爱好，用手挡着嘴讲啊讲，被他迷得晕头转向 从睁开眼睛到闭上眼睛，都有人盯着你 ，试一试就知道了 只会练嘴，讲相声 杀鸡还要用好大一把刀，我们用小小的一把刀就杀掉了嘛 有些人，没有逻辑，头脑相当直爽 不唱歌就睡觉改？ 一楼上到二楼，有两把楼梯，你不可能都上 这个就像你爸爸你妈妈开车，一开始直直地开过去，过一会儿转弯，就（翻车手势）了 那个人，是力气多着点 你接嘴比我快，就说明你的行动更快。
给你两个选择： 一、去抄字；
二、去爬楼梯，你滚下去不关我事噶

题目专题一 “中点四边形”

1.连接任意四边形各边中点，围成平行四边形

已知：四边形$ABCD$中，点$E$、$F$、$G$、$H$是各边中点
求证：四边形$EFGH$是平行四边形 quadrilateral with connected midpoints $$ 证明：连接AC\\ \because 点E是AB中点,点F是BC中点\\ \therefore EF是\triangle ABC中位线\\ \therefore EF//AC,EF=\frac{1}{2}AC\\ 同理可得：\\ HG//AC,HG=\frac{1}{2}AC $$
四行
$$ \therefore EF//HG,EF=HG\\ \therefore 四边形EFGH是平行四边形 $$

2.连接对角线相等的四边形各边中点，围成菱形

quadrilateral with equal diagonals with connected midpoints $$ \because 四边形EFGH是平行四边形\\ 又\because EH=EF\\ \therefore \paral EFGH是菱形 $$

3.连接对角线互相垂直的四边形各边中点，围成矩形 kite with connected midpoints

你在家，口渴了，你就叫一天‘口渴了’‘口渴了’，渴死你

专题二

1.连接平行四边形各边中点，围成小平行四边形 parallelogram with connected midpoints 2.连接矩形各边中点，围成小菱形 rectangle with connected midpoints

王俊翔，当你不说话的时候，你的手也停下来了 一个杯子里面放着热水，一个杯子里面放着冷水，一节课后应该还在原来的杯子里。但下课，两杯水就流在一起了 就像宇宙，大爆炸——收缩——展开——收缩 $S_{大},S_{中},S_{小},S_{小小}$

3.连接菱形各边中点，围成小矩形 rhombus with connected midpoints

你学数学，不具体，很模糊 我们数学研究的是没有重复，没有启发 为什么让我难过的人都坐在前面 我最喜欢这本笔记本，你看，有防伪标记（拿出复印件），跟这本一样 去春游，你们坐旋转木马，手转几度，身子也转几度。如果不是这样，坐下来就转胖了 手上的力气，连这支魔法棒都拿不起来，考什么试嘛！ 按照生物进化的规律，你们过几年就只有嘴，没有手了 后期审题要过关，得看前面基本功 现在是竞争的时代